Чем независимые события отличаются от несовместных

Эти два понятия интуитивно кажутся аналогичными друг другу. Но в чем же разница?

На самом деле это сравнение круглого с тёплым. Первый термин означает, что события не могут происходить одновременно. Второй же – что возникновение одного события не влияет на возникновение другого. По сути они описывают два разных исхода для совместного возникновения этих двух событий. Но об этом ниже.

Вероятность

Что же скрывается за этими терминами с точки зрения теории вероятностей? Мы будем пользоваться стандартной тройкой величин, задающих вероятностное пространство

(O, A,P).

Понятие несовместных событий может совсем не включать в себя понятие вероятности. Оно говорит нам о том, что пересечение событий

A1 и A2 = o.

Понятие независимости уже включает в себя вероятность. Оно говорит нам о том, что вероятность наступления одного события не зависит от наступления второго события. Иными словами, вероятность их совместного наставления равна произведению вероятностей наступления каждого из событий, т.е.:

P(A1*A2) = P(A1)*P(A2).

Могут ли несовместные события быть независимыми

Могут. Давайте покажем в каком случае.

• Для несовместных

P(A1^A2)=P(0)=o.

• Для независимых

P(A1^A2)=P(A1)*P(A2)

Следовательно,

P(A1)*P(A2)=o

Получается, что данный случай возможен, только когда одно из событий – невозможное, т.е. Вероятность его наступления равна нулю.

P.S.: Если тебе понравилась стать, в качестве благодарности можешь купить мне кофе на https://buymeacoffee.com/koch.